➗គណិតវិទ្យា1 ដងមើល0 ចំណាំប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាទុតិយភូមិ ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ សម័យប្រឡង៖ ០៤ សីហា ២០១៤ គណិតវិទ្យាផ្តល់ដោយ NIN VANNSANចម្លើយ1% ===================== COVER / HEADER ===================== \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] \fill[accent] (current page.north west) rectangle ([yshift=-5.6cm]current page.north east); \fill[accent!70!black] ([yshift=-5.6cm]current page.north west) rectangle ([yshift=-5.75cm]current page.north east); \end{tikzpicture} \vspace*{-0.9cm} \begin{center} {\color{white} {\large\bfseries ព្រះរាជាណាចក្រកម្ពុជា}\\[1pt] {\bfseries ជាតិ \ \ សាសនា \ \ ព្រះមហាក្សត្រ}\\[7pt] {\small ក្រសួងអប់រំ យុវជន និងកីឡា}\\[3pt] {\Large\bfseries ប្រឡងសញ្ញាបត្រមធ្យមសិក្សាទុតិយភូមិ}\\[1pt] {\bfseries ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ \ \textbullet\ \ សម័យប្រឡង៖ ០៤ សីហា ២០១៤}} \end{center} \vspace{0.5cm} \begin{center} \begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.92\linewidth,colback=white,colframe=accent!25,boxrule=0.8pt,arc=8pt, left=10pt,right=10pt,top=5pt,bottom=5pt,drop shadow=black!15] \centering {\bfseries\large វិញ្ញាសា៖ \color{accent}គណិតវិទ្យា} \hfill\quad {\small\color{muted}រយៈពេល}\ {\bfseries ១៥០ នាទី} \hfill\quad {\small\color{muted}ពិន្ទុ}\ {\bfseries ១២៥} \end{tcolorbox} \end{center} % ===================== EXAM ===================== \section*{\color{accent}\large ប្រធានវិញ្ញាសា} \vspace{-6pt} \examsec{I.}{គណនាលីមីតខាងក្រោម}{} \begin{enumerate} \item limx→π42sin (x−π4)π4−x\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{2\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\frac{\pi}{4}-x}x→4πlim4π−x2sin(x−4π) \item limx→0−2sin5x5−x+5\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{-2\sin 5x}{\sqrt{5}-\sqrt{x+5}}x→0lim5−x+5−2sin5x \item limx→01−cos23x−2x2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2 3x}{-2x^2}x→0lim−2x21−cos23x \item limx→0x2−x∣x∣\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2-x}{|x|}x→0lim∣x∣x2−x \end{enumerate} \examsec{II.}{ចំនួនកុំផ្លិច}{} គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច z1=−1+i3z_1=-1+i\sqrt3z1=−1+i3 និង z2=−1−i3z_2=-1-i\sqrt3z2=−1−i3 ។ \begin{enumerate} \item គណនា z1+z2z_1+z_2z1+z2, \ z1−z2z_1-z_2z1−z2, \ z1z2z_1z_2z1z2 ។ \item សរសេរចំនួនកុំផ្លិច z1z_1z1 និង z2z_2z2 ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ \item បង្ហាញថា z1z_1z1 និង z2z_2z2 ជាឫសរបស់សមីការ z3−8=0z^3-8=0z3−8=0 ។ \end{enumerate} \examsec{III.}{ប្រូបាប}{} នៅក្នុងធុងមួយគេមានប៊ូល ១២ ដែលគេសរសេរលេខពី ១ ដល់ ១២។ គេចាប់យកប៊ូលចំនួន ៣ ចេញពីធុងព្រមគ្នាដោយចៃដន្យ។ \begin{enumerate} \item រកប្រូបាបដែល «គេចាប់បានប៊ូលទាំងបីមានលេខសុទ្ធតែដាច់នឹង ៣»។ \item រកប្រូបាបដែល «គេចាប់បានប៊ូលមានតែមួយគត់មានលេខចែកដាច់នឹង ៣»។ \item រកប្រូបាបដែល «គេចាប់បានប៊ូលមានលេខតាមលំដាប់កើនជាស្វ៊ីតនព្វន្តដែលមានផលសងរួម d=3d=3d=3»។ \end{enumerate} \examsec{IV.}{អនុគមន៍លោការីត}{} fff ជាអនុគមន៍កំណត់លើ (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) ដោយ f(x)=x−5+8lnxx+9xf(x)=x-5+\dfrac{8\ln x}{x}+\dfrac{9}{x}f(x)=x−5+x8lnx+x9 និង CCC ជាក្រាបរបស់វា។ \begin{enumerate} \item \begin{sub} \item រក limx→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)x→+∞limf(x) និង limx→0f(x)\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)x→0limf(x) ។ \item ស្រាយបំភ្លឺថាបន្ទាត់ Δ\DeltaΔ ដែលមានសមីការ y=x−5y=x-5y=x−5 ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃខ្សែកោង CCC នៅជិត +∞+\infty+∞ ។ \item កំណត់អាប់ស៊ីសនៃចំណុចប្រសព្វរវាង Δ\DeltaΔ និងខ្សែកោង CCC ។ \end{sub} \item \begin{sub} \item បង្ហាញថាចំពោះគ្រប់ x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)x∈(0,+∞) គេបាន f′(x)=g(x)x2f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}f′(x)=x2g(x) ដែល g(x)=x2−8lnx−1g(x)=x^2-8\ln x-1g(x)=x2−8lnx−1 ។ \item សិក្សាអថេរភាពនៃអនុគមន៍ fff ។ \end{sub} \end{enumerate} \examsec{V.}{អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល}{} fff ជាអនុគមន៍កំណត់លើ R\mathbb{R}R ដោយ f(x)=4−x−2e−xf(x)=4-x-2e^{-x}f(x)=4−x−2e−x ហើយតាងដោយ CCC ជាក្រាបរបស់វា។ \begin{enumerate} \item \begin{sub} \item រក limx→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)x→+∞limf(x) ។ \item បង្ហាញថាបន្ទាត់ DDD មានសមីការ y=−x+4y=-x+4y=−x+4 ជាអាស៊ីមតូតនៃខ្សែកោង CCC ។ \item តើខ្សែកោង CCC នៅលើឬក្រោមបន្ទាត់ DDD ? ចូរបញ្ជាក់។ \item ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា f(x)=4ex−xex−2exf(x)=\dfrac{4e^x-xe^x-2}{e^x}f(x)=ex4ex−xex−2 និងរក limx→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)x→−∞limf(x) ។ \end{sub} \item \begin{sub} \item គណនា f′(x)f'(x)f′(x) សិក្សាអថេរភាព និងតម្លៃអតិបរមារបស់ fff ។ \item កំណត់សមីការបន្ទាត់ប៉ះខ្សែកោង CCC ត្រង់ចំណុចមានអាប់ស៊ីស x0=0x_0=0x0=0 ។ \item បង្ហាញថាសមីការ f(x)=0f(x)=0f(x)=0 មានចម្លើយតែមួយគត់តាងដោយ β\betaβ ក្នុងចន្លោះ [−1,0][-1,0][−1,0] ។ \end{sub} \end{enumerate} % ===================== ANSWERS ===================== \newpage \begin{center} {\Large\bfseries\color{teal}ចម្លើយលម្អិត}\\[2pt] {\small\color{muted}គណិតវិទ្យា \textbullet\ ថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រ \textbullet\ ២០១៤} \end{center} \vspace{-4pt} % ---- I ---- \anssec{I.}{គណនាលីមីត} \begin{enumerate} \item តាង t=x−π4t=x-\frac{\pi}{4}t=x−4π ពេល x→π4x\to\frac{\pi}{4}x→4π នាំឱ្យ t→0t\to0t→0៖ \begin{ans} $\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{2\sin(x-\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{4}-x} = 2\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{-t}=-2\cdot1$ \result{=−2=-2=−2} \end{ans} \item \begin{ans} $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{-2\sin 5x}{\sqrt5-\sqrt{x+5}} =\lim_{x\to0}\frac{-2\sin 5x\,(\sqrt5+\sqrt{x+5})}{5-(x+5)} =\lim_{x\to0}\frac{-2\sin 5x\,(\sqrt5+\sqrt{x+5})}{-x}$\\[4pt] =limx→0 2⋅sin5x5x⋅5 (5+x+5)=2⋅1⋅5⋅25\displaystyle =\lim_{x\to0}\ 2\cdot\frac{\sin 5x}{5x}\cdot5\,(\sqrt5+\sqrt{x+5})=2\cdot1\cdot5\cdot2\sqrt5=x→0lim 2⋅5xsin5x⋅5(5+x+5)=2⋅1⋅5⋅25 \result{=205=20\sqrt5=205} \end{ans} \item \begin{ans} $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2 3x}{-2x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 3x}{-2x^2} =-\frac12\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin 3x}{3x}\cdot3\right)^{2}=-\frac12\cdot3^2$ \result{=−92=-\dfrac92=−29} \end{ans} \item \begin{ans} \begin{itemize}[leftmargin=1.2em,itemsep=2pt,topsep=0pt] \item បើ x→0−x\to0^{-}x→0− នោះ ∣x∣=−x|x|=-x∣x∣=−x ៖ \ limx→0−x(x−1)−x=limx→0−(1−x)=1\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{x(x-1)}{-x}=\lim_{x\to0^-}(1-x)=1x→0−lim−xx(x−1)=x→0−lim(1−x)=1 \item បើ x→0+x\to0^{+}x→0+ នោះ ∣x∣=x|x|=x∣x∣=x ៖ \ limx→0+x(x−1)x=limx→0+(x−1)=−1\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{x(x-1)}{x}=\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1x→0+limxx(x−1)=x→0+lim(x−1)=−1 \end{itemize} ដោយលីមីតឆ្វេង ≠\neq= លីមីតស្តាំ ដូចនេះ \result{លីមីតមិនមាន} \end{ans} \end{enumerate} % ---- II ---- \anssec{II.}{ចំនួនកុំផ្លិច} \begin{enumerate} \item \begin{ans} z1+z2=−2,z1−z2=23 i,z1z2=(−1)2+(3)2=4z_1+z_2=-2,\qquad z_1-z_2=2\sqrt3\,i,\qquad z_1z_2=(-1)^2+(\sqrt3)^2=4z1+z2=−2,z1−z2=23i,z1z2=(−1)2+(3)2=4 \end{ans} \item \begin{ans} ∣z1∣=∣z2∣=2|z_1|=|z_2|=2∣z1∣=∣z2∣=2 \ ដូចនេះ៖\\[3pt] $z_1=2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right),\qquad z_2=2\left(\cos\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$ \end{ans} \item តាមរូបមន្តដឺម័រ (De Moivre)៖ \begin{ans} z13=23(cos2π+isin2π)=8z_1^3=2^3\left(\cos2\pi+i\sin2\pi\right)=8z13=23(cos2π+isin2π)=8 \ និងដូចគ្នាដែរ z23=8z_2^3=8z23=8 \result{ដូចនេះ z1,z2z_1,z_2z1,z2 ជាឫសនៃសមីការ z3−8=0z^3-8=0z3−8=0} \end{ans} \end{enumerate} % ---- III ---- \anssec{III.}{ប្រូបាប} ចំនួនករណីអាចសរុប៖ \ n(S)=C(12,3)=220n(S)=C(12,3)=220n(S)=C(12,3)=220 \begin{enumerate} \item \begin{ans} ប៊ូលដែលមានលេខចែកដាច់នឹង ៣ មាន ៤ គឺ {3,6,9,12}\{3,6,9,12\}{3,6,9,12}៖\quad P(A)=C(4,3)220=4220P(A)=\dfrac{C(4,3)}{220}=\dfrac{4}{220}P(A)=220C(4,3)=2204 \result{=155=\dfrac1{55}=551} \end{ans} \item \begin{ans} P(B)=C(4,1)×C(8,2)220=4×28220P(B)=\dfrac{C(4,1)\times C(8,2)}{220}=\dfrac{4\times28}{220}P(B)=220C(4,1)×C(8,2)=2204×28 \result{=2855=\dfrac{28}{55}=5528} \end{ans} \item \begin{ans} ស្វ៊ីតនព្វន្តមានផលសងរួម d=3d=3d=3៖ (1,4,7),(2,5,8),(3,6,9),(4,7,10),(5,8,11),(6,9,12)(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9),(4,7,10),(5,8,11),(6,9,12)(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9),(4,7,10),(5,8,11),(6,9,12) មាន ៦ ករណី។\\[2pt] P(C)=6220P(C)=\dfrac{6}{220}P(C)=2206 \result{=3110=\dfrac{3}{110}=1103} \end{ans} \end{enumerate} % ---- IV ---- \anssec{IV.}{អនុគមន៍ f(x)=x−5+8lnxx+9xf(x)=x-5+\dfrac{8\ln x}{x}+\dfrac9xf(x)=x−5+x8lnx+x9} \begin{enumerate} \item \begin{sub} \item \begin{ans} limx→+∞f(x)=+∞,limx→0+f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=-\inftyx→+∞limf(x)=+∞,x→0+limf(x)=−∞ \end{ans} \item \begin{ans} limx→+∞[f(x)−(x−5)]=limx→+∞8lnx+9x=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(x-5)\bigr]=\lim_{x\to+\infty}\frac{8\ln x+9}{x}=0x→+∞lim[f(x)−(x−5)]=x→+∞limx8lnx+9=0 \result{ដូចនេះ Δ:y=x−5\Delta: y=x-5Δ:y=x−5 ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ CCC} \end{ans} \item \begin{ans} f(x)−(x−5)=0 ⟺ 8lnx+9=0 ⟺ lnx=−98f(x)-(x-5)=0\iff 8\ln x+9=0\iff \ln x=-\dfrac98f(x)−(x−5)=0⟺8lnx+9=0⟺lnx=−89 \result{x=e−98x=e^{-\frac98}x=e−89} \end{ans} \end{sub} \item \begin{sub} \item \begin{ans} f′(x)=1+8(1−lnx)x2−9x2=x2−8lnx−1x2=g(x)x2\displaystyle f'(x)=1+\frac{8(1-\ln x)}{x^2}-\frac{9}{x^2}=\frac{x^2-8\ln x-1}{x^2}=\frac{g(x)}{x^2}f′(x)=1+x28(1−lnx)−x29=x2x2−8lnx−1=x2g(x) \end{ans} \item \begin{ans} g(1)=0g(1)=0g(1)=0 ហើយ f′(x)f'(x)f′(x) មានសញ្ញាដូច g(x)g(x)g(x) ។ តាង \alpha>1 ជាឫសមួយទៀតនៃ g(x)=0g(x)=0g(x)=0 ។\\[2pt] អនុគមន៍ fff \textbf{កើន} លើ (0,1)(0,1)(0,1) និង (α,+∞)(\alpha,+\infty)(α,+∞) \ ហើយ \textbf{ចុះ} លើ (1,α)(1,\alpha)(1,α) ។ \end{ans} \end{sub} \end{enumerate} % ---- V ---- \newpage \anssec{V.}{អនុគមន៍ f(x)=4−x−2e−xf(x)=4-x-2e^{-x}f(x)=4−x−2e−x} \begin{enumerate} \item \begin{sub} \item \begin{ans} limx→+∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\inftyx→+∞limf(x)=−∞ \ (ព្រោះ e−x→0e^{-x}\to0e−x→0 និង 4−x→−∞4-x\to-\infty4−x→−∞) \end{ans} \item \begin{ans} limx→+∞[f(x)−(−x+4)]=limx→+∞(−2e−x)=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(-x+4)\bigr]=\lim_{x\to+\infty}(-2e^{-x})=0x→+∞lim[f(x)−(−x+4)]=x→+∞lim(−2e−x)=0 \result{ដូចនេះ D:y=−x+4D: y=-x+4D:y=−x+4 ជាអាស៊ីមតូតទ្រេតនៃ CCC} \end{ans} \item \begin{ans} f(x)-(-x+4)=-2e^{-x}<0 គ្រប់ x∈Rx\in\mathbb Rx∈R \result{ខ្សែកោង CCC ស្ថិតនៅ \textbf{ក្រោម} បន្ទាត់ DDD} \end{ans} \item \begin{ans} f(x)=(4−x)ex−2ex=4ex−xex−2exf(x)=\dfrac{(4-x)e^x-2}{e^x}=\dfrac{4e^x-xe^x-2}{e^x}f(x)=ex(4−x)ex−2=ex4ex−xex−2 \qquad limx→−∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\inftyx→−∞limf(x)=−∞ \end{ans} \end{sub} \item \begin{sub} \item \begin{ans} f′(x)=−1+2e−x=2e−x−1f'(x)=-1+2e^{-x}=2e^{-x}-1f′(x)=−1+2e−x=2e−x−1 \ ; \ f′(x)=0 ⟺ x=ln2f'(x)=0\iff x=\ln2f′(x)=0⟺x=ln2\\[2pt] f'(x)>0 ពេល x<\ln2 (កើន) \ ; \ f'(x)<0 ពេល x>\ln2 (ចុះ) \result{តម្លៃអតិបរមា f(ln2)=3−ln2f(\ln2)=3-\ln2f(ln2)=3−ln2 ត្រង់ x=ln2x=\ln2x=ln2} \end{ans} \item \begin{ans} f(0)=2f(0)=2f(0)=2, \ f′(0)=1f'(0)=1f′(0)=1 \quad ⇒\Rightarrow⇒ \quad y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'(0)(x-0)+f(0)y=f′(0)(x−0)+f(0) \result{y=x+2y=x+2y=x+2} \end{ans} \item \begin{ans} fff ជាប់ និងកើនយ៉ាងតឹងលើ [−1,0][-1,0][−1,0] \ ; \ f(-1)=5-2e<0 និង f(0)=2>0\\[2pt] តាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃកណ្តាល \result{សមីការ f(x)=0f(x)=0f(x)=0 មានចម្លើយតែមួយគត់ β∈[−1,0]\beta\in[-1,0]β∈[−1,0]} \end{ans} \end{sub} \end{enumerate}
